Rabu, 23 November 2011

PELUANG


PERSAMAAN KUADRAT

v  Pengertian Persamaan Kuadrat
Horizontal Scroll: ax2 + bx + c = 0Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.











 

   Koefisien x2    konstanta
       Koefisien x

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :
Flowchart: Document: § (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0 
§ (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 + bx = 0  







Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x
     
v  Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
a.       Memfaktorkan
untuk bentuk ax2 + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya  b dan hasil kalinya c
b.      Melengkapkan kuadrat sempurna
     ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Misalnya x2 – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x2 – 2x + 1 = (x - 1)
c.       Horizontal Scroll: x1,2 = -b ± √ b2 – 4

           2aMenggunakan rumus kuadrat
                                                                        Dengan b2 – 4ac 
           


 

Nilai diskriminan (D)

Jika b2 – 4ac  < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian
Jika b2 Jika b2 – 4ac  = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian
Jika b2 – 4ac  > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian

v    Menyusun Persamaan Kuadrat
(x -  x1) (x – x2) = 0
 
Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.
Ø  Memakai faktor  :                                                      

Ø  Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc
x1 + x2 =  -b  + √ b2 – 4ac   +  - b  - √ b2 – 4ac  
         2a                              2a

                  =   -2b       
                                     2a
                              =     -b
                                      a
   x1 x x2  =  -b  + √ b2 – 4ac   x  - b  - √ b2 – 4ac  
                              2a                           2a

                              =  b2 – (b2 – 4 ac)
                                    4a2
                              =  4ac
                                  4a2
                              =  c
                                  a

x2 – (x1   + x2) x + x1.x2 = 0
 
                                   
Sehingga dapat dinyatakan







Contoh
   Contoh 1 :
        Bagaimana merubah persamaan 2x2 = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???
            Penyelesaian :  2x2 = 3x – 8
                        <=>     2x2  - 3x =  3x-3x -8    (kedua ruas dikurangi 3x)
                        <=>     2x2 – 3x = -8
                        <=>     2x2 - 3x  + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)
                        <=>     2x2 – 3x +  8 = 0
                  Jadi a  = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :
Cara memfaktorkan
      Contoh :          x2 – 5 x + 6 = 0
                           <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
                           <=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0
                           <=> x = 2     atau x = 3
                           Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3
Cara Melengkapakan Kuadrat
Contoh :         Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 !
Jawab    :         x2 + 2x – 15 = 0
                        x2 + 2x = 15
Agar x2 + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
            x2 + 2x + 1 = 15 + 1
                        <=>     (x + 1)2 = 16
<=>     x + 1 = ± √16
<=>     x + 1 =  ± 4
<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=>     x = 4 - 1 atau x = -4 -1
<=>     x = 3 atau x = -5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4
a.      Menggunakan rumus kuadrat
            Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0
           
                                                                                     
                                                                                      a =1   b = 4   c = -12
            penyelesaian

            x1,2 = - b ± √b2 – 4ac
                            2a

<=>     x1,2 =  - 4  ± √42 – 4 x 1x (-12)
                                    2 x 1
<=>     x1,2 =  - 4  ± √16 + 48
                                2
           
<=>     x1,2 =  - 4  ± √64
                            2
           
<=>     x1,2 =  - 4  ± 8
                            2

<=>     x1,2 =  - 4  +  8            atau        x1,2 =  - 4   -  8          
2                                                                                        2
<=>     x1 = 2                        atau       x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

            Cara 1 :          x1 = 2 dan x2 = 5
                        Maka   (x-x1) (x-x2) = 0
                        <=>     (x-2) (x-5) =  0
                        <=>     x2 – 7x + 10 = 0
                        Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

            Cara 2            :          x1 = 2 dan x2 = 5
                        Maka   x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0
                        Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7
                                    x1. x2 = 2.5 = 10
                        Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat
Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?
Penyelesaian :
Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka
Y = ( x- 12) meter
Luas tanah = x . y
4.320        = x . y
<=>  4.320        = x . (x-12)
<=>  x2 – 12x – 4320 = 0
<=>  (x- 72) (x + 60) = 0
<=>  x - 72 = 0  atau x + 60 = 0
<=>  x      = 72 atau  x   = - 60
karena panjang tanah harus positif,  nilai yang memenuhi adalah x = 72.
Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60
Jadi, panjang tanah  adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.



LATIHAN
     Nyatakan persamaan  2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat !
     Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2 – 5x – 3 = 0, jika x є R!
     Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !
     Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !

Pemyelesaian
1)               2 (x2 + 1) = x (x + 3)
<=>     2x2 + 2 = x2 + 3x
<=>     2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2)
<=>     x2 + 2 = 3x
<=>     x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)
<=>     x2 – 3x + 2 = 0
         Jadi, a =  1, b = -3, dan c = 2
2)      Dua bilangan yang jumlahnya -5
         Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh
                        2x2 – 5x – 3 = 0
            <=>     (2x + 1) (2x – 6) = 0
            <=>     2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0
            <=>     x = - 1      atau x = 3
                                2         
         Jadi HP = {- 1, 3}
                             2

3)      dengan cara memfaktor
         x1 = 3 dan x2 = 0
         (x -  x1) (x – x2) = 0
         (x – 3) (x-0) = 0
         x (x – 3) = 0
         x2 – 3x = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x2 – 3x = 0

4)      Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12
         Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :
         x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)
<=> 12x – x2 = 35
<=> x2 – 12 = -35
<=> x2 – 12x  36 = -35 +36
<=> (x – 6)2 = 1
<=> x – 6 = ±1
<=> x - 6 = 1  atau x – 6 = -1
<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6
<=> x = 7 atau x = 5
jika x = 7 maka y = 12 -  7 = 5
jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7
jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7

Tidak ada komentar:

Posting Komentar