himpunan linier

1.    Pengertian  Program Linier
Program linier  adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.
a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.
     Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian).
    Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >,  , dan  

Contoh :
1.Tentukan himpunan  penyelesaian dari
    a. x < 3    d. y > 2
    b.x   2    e. y   -1
    c. y  > - 3
Jawab :
1.a. x < 3
                      

. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah
 penyelesaian
    Contoh 1 : 
    Tunjukan  himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan
     2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y   R
           Jawab :
     Langkah – langkah :
     Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :
     i.  Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table
         Jika x = 0 maka y = 6
         Jika y = 0 maka x = 3
              Tabel
x    0    3
y    6    0
     ii. Buatlah garis  x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah  
         daerah di sebelah kanan sumbu y.
     iii.Buatlah garis  y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah  
         daerah di atas sumbu x.
     iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan 
         penylesaiannya :
     v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )
         memenuhi.
                -     -      -                 +      +      +
 



 









Contoh 2 :
A.    Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )
Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.
Contoh :
Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.
Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?
Jawab :
Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas
Misalkan : Paku jenis I = x dan
                              Paku jenis II = y
            Tabel
Barang    Bahan A    Bahan B
Paku jenis I    200 gram    75 gram
Paku jenis II    150 gram    50 gram
Jumlah    5.500 gram    2.000 gram
Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500
75x + 50y ≤ 2.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y
Kita sederhanakan dulu persamaan diatas
200x + 150y ≤ 5.500  4x + 3y ≤ 110
75x + 50y ≤ 2.000       3x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0
 Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

   4x + 3y ≤ 110                             
x    0   

y   
0

  3x + 2y ≤ 80
x    0   

y    40    0

 Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah
  
4x + 3y = 110   x2  8x + 6y = 220
3x + 2y = 80     x3  9x + 6y = 240      
                               - x         = -20
                                        x   =  20    
untuk x = 20
3x + 2y = 80  3.20 + 2y = 80
                                      2y = 80 – 60
                                        y =   = 10 maka titik potong (20,10)
 Gambar grafik fungsi penyelesaiannya


    

 Daerah  himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik
      optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)
 Nilai fungsi obyeknya adalah :
      Untuk O(0,0)         z = 500.0 + 350.0 = 0
      UntukA(80/3,0)    z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000
      UntukB(20,10)     z = 500.20 + 350.10 = 13.500
      UntukC(0,110/30 z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000
 Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka
      pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.


C.    Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier.
   
D.    Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k

Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k   R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.

Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :

x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab ;   
3x +2y = k2 maka 3.0 + 2.5 = 10
            3x +2y = k2 maka 3.5 + 2.0 = 15
            Jadi nilai maksimum adalah 15