MATEMATIKA 5: 2011

Rabu, 23 November 2011

PELUANG

PERSAMAAN KUADRAT

v Pengertian Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

Koefisien x² konstanta

Koefisien x

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

Flowchart: Document: § (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0
§ (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 + bx = 0

Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x

v Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

a. Memfaktorkan

untuk bentuk ax² + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya b dan hasil kalinya c

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Misalnya x² – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x² – 2x + 1 = (x - 1)

Horizontal Scroll: x1,2 = -b ± √ b2 – 4

2a

Menggunakan rumus kuadrat

Dengan b² – 4ac ≥

Nilai diskriminan (D)

Jika b2 – 4ac < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian

Jika b2 Jika b2 – 4ac = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian

Jika b2 – 4ac > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian

v Menyusun Persamaan Kuadrat

(x - x₁) (x – x₂) = 0

Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.

Ø Memakai faktor :

Ø Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc

x₁ + x₂ = -b + √ b2 – 4ac + - b - √ b2 – 4ac

2a 2a

= -2b

= -b

x₁x x₂ = -b + √ b2 – 4ac x - b - √ b2 – 4ac

2a 2a

= b² – (b² – 4 ac)

4a²

= 4ac

4a²

= c

x² – (x₁ + x₂) x + x₁.x₂ = 0

Sehingga dapat dinyatakan

Contoh

Contoh 1 :

☺ Bagaimana merubah persamaan 2x² = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???

Penyelesaian : 2x² = 3x – 8

<=> 2x² - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x)

<=> 2x² – 3x = -8

<=> 2x² - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)

<=> 2x² – 3x + 8 = 0

Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :

Cara memfaktorkan

Contoh : x² – 5 x + 6 = 0

<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

<=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0

<=> x = 2 atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3

Cara Melengkapakan Kuadrat

Contoh : Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !

Jawab : x² + 2x – 15 = 0

x² + 2x = 15

Agar x²+ 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)² = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

x² + 2x + 1 = 15 + 1

<=> (x + 1)² = 16

<=> x + 1 = ± √16

<=> x + 1 = ± 4

<=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1

<=> x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4

a. Menggunakan rumus kuadrat

Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0

a =1 b = 4 c = -12

penyelesaian

x_1,2 = - b ± √b² – 4ac

<=> x_{1,2 =}- 4 ± √42 – 4 x 1x (-12)

2 x 1

<=> x_{1,2 =}- 4 ± √16 + 48

<=> x_{1,2 =}- 4 ± √64

<=> x_{1,2 =}- 4 ± 8

<=> x_{1,2 =}- 4 + 8 atau x_{1,2 =}- 4 - 8

2 2

<=> x₁ = 2 atau x₂ = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

Cara 1 : x₁ = 2 dan x₂ = 5

Maka (x-x₁) (x-x₂) = 0

<=> (x-2) (x-5) = 0

<=> x² – 7x + 10 = 0

Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0

Cara 2 : x₁ = 2 dan x₂= 5

Maka x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0

Dengan (x₁ + x₂) = 2 + 5 = 7

x₁. x₂ = 2.5 = 10

Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0

Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat

Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m². Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?

Penyelesaian :

Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka

Y = ( x- 12) meter

Luas tanah = x . y

4.320 = x . y

<=> 4.320 = x . (x-12)

<=> x² – 12x – 4320 = 0

<=> (x- 72) (x + 60) = 0

<=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0

<=> x = 72 atau x = - 60

karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72.

Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60

Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.

LATIHAN

☺ Nyatakan persamaan 2 (x² + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat !

☺ Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0, jika x є R!

☺ Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !

☺ Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !

Pemyelesaian

1) 2 (x² + 1) = x (x + 3)

<=> 2x² + 2 = x² + 3x

<=> 2x²– x² + 2 = x² – x² + 3x (kedua ruas dikurangi x2)

<=> x² + 2 = 3x

<=> x²– 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)

<=> x²– 3x + 2 = 0

Jadi, a = 1, b = -3, dan c = 2

2) Dua bilangan yang jumlahnya -5

Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh

2x² – 5x – 3 = 0

<=> (2x + 1) (2x – 6) = 0

<=> 2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0

<=> x = - 1 atau x = 3

Jadi HP = {- 1, 3}

3) dengan cara memfaktor

x₁ = 3 dan x₂ = 0

(x - x₁) (x – x₂) = 0

(x – 3) (x-0) = 0

x (x – 3) = 0

x² – 3x = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x² – 3x = 0

4) Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12

Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :

x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)

<=> 12x – x2 = 35

<=> x² – 12 = -35

<=> x² – 12x 36 = -35 +36

<=> (x – 6)² = 1

<=> x – 6 = ±1

<=> x - 6 = 1 atau x – 6 = -1

<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6

<=> x = 7 atau x = 5

jika x = 7 maka y = 12 - 7 = 5

jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7

jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7

1.    Pengertian Program Linier
Program linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.
a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.
    Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian).
    Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, , dan

Contoh :
1.Tentukan himpunan penyelesaian dari
    a. x < 3    d. y > 2
    b.x   2    e. y   -1
    c. y > - 3
Jawab :
1.a. x < 3


. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah
penyelesaian
    Contoh 1 :
    Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan
     2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y   R
           Jawab :
     Langkah – langkah :
     Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :
     i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table
         Jika x = 0 maka y = 6
         Jika y = 0 maka x = 3
              Tabel
x    0    3
y    6    0
     ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah
         daerah di sebelah kanan sumbu y.
     iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah
         daerah di atas sumbu x.
     iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan
         penylesaiannya :
     v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )
         memenuhi.
                -     -      -                 +      +      +

Contoh 2 :
A.    Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )
Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.
Contoh :
Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.
Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?
Jawab :
Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas
Misalkan : Paku jenis I = x dan
                              Paku jenis II = y
            Tabel
Barang    Bahan A    Bahan B
Paku jenis I    200 gram    75 gram
Paku jenis II    150 gram    50 gram
Jumlah    5.500 gram    2.000 gram
Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500
75x + 50y ≤ 2.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y
Kita sederhanakan dulu persamaan diatas
200x + 150y ≤ 5.500 4x + 3y ≤ 110
75x + 50y ≤ 2.000       3x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0
Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

   4x + 3y ≤ 110
x    0

y
0

3x + 2y ≤ 80
x    0

y    40    0

Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah

4x + 3y = 110   x2 8x + 6y = 220
3x + 2y = 80     x3 9x + 6y = 240
                               - x         = -20
                                        x   = 20
untuk x = 20
3x + 2y = 80 3.20 + 2y = 80
                                      2y = 80 – 60
                                        y =   = 10 maka titik potong (20,10)
Gambar grafik fungsi penyelesaiannya



Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik
      optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)
Nilai fungsi obyeknya adalah :
      Untuk O(0,0)         z = 500.0 + 350.0 = 0
      UntukA(80/3,0)    z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000
      UntukB(20,10)     z = 500.20 + 350.10 = 13.500
      UntukC(0,110/30 z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000
Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka
      pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

C.    Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier.

D.    Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k

Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k   R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.

Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :

x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab ;
3x +2y = k2 maka 3.0 + 2.5 = 10
            3x +2y = k2 maka 3.5 + 2.0 = 15
            Jadi nilai maksimum adalah 15

Sabtu, 19 November 2011

kumpulan soal turunan

1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f′(0) = ….
a. 2√3
b. 2
c. √3
d. ½√3
e. ½√2
Soal Ujian Nasional tahun 2007
2. Turunan pertama dari f(x) = sin ( 3x² – 2 ) adalah f’(x) = ….
a. 2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 )
b. 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 )
c. 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 )
d. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 )
e. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 )
Soal Ujian Nasional tahun 2006
3. Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah ….
a. ( 2,5 )
b. ( 2,5/2 )
c. ( 2,2/5 )
d. ( 5/2,2 )
e. ( 2/5,2 )
Soal Ujian Nasional tahun 2007
4. Persamaan garis singgung kurva y = ³√( 5 + x ) di titik dengan absis 3 adalah ….
a. x – 12y + 12 = 0
b. x – 12y + 23 = 0
c. x – 12y + 27 = 0
d. x – 12y + 34 = 0
e. x – 12y + 38 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2006
5. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x – 160 + 2000/x )ribu rupiah per hari. Biaya minmum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah ….
a. Rp. 200.000,00
b. Rp. 400.000,00
c. Rp. 560.000,00
d. Rp. 600.000,00
e. Rp. 800.000,00
Soal Ujian Nasional tahun 2006

Rabu, 02 November 2011

INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Daftar isi

[sembunyikan]

[sunting] Mencari nilai integral

[sunting] Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

[sunting] Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

[sunting] Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

[sunting] Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,$

$= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,$

$= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,$

$=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu $A+B = 0\,$ dan $A-B = -\frac{1}{2}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,$

$\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,$

$= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,$

$= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,$

[sunting] Rumus integrasi dasar

[sunting] Umum

[sunting] Bilangan natural

$\int e^u du= e^u + C\,$

[sunting] Logaritma

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

[sunting] Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

MATEMATIKA 5

Rabu, 23 November 2011

PELUANG

himpunan linier

Sabtu, 19 November 2011

kumpulan soal turunan

Rabu, 02 November 2011

INTEGRAL

Daftar isi

[sunting] Mencari nilai integral

[sunting] Substitusi

[sunting] Integrasi parsial

[sunting] Substitusi trigonometri

[sunting] Integrasi pecahan parsial

[sunting] Rumus integrasi dasar

[sunting] Umum

[sunting] Bilangan natural

[sunting] Logaritma

[sunting] Trigonometri

Mengenai Saya

Arsip Blog